Mathematiker und Fondsmanager zweifelt Kapitalmarkttheorie an

Der promovierte Mathematiker und Gründer der Fonds-Boutique Mandelbrot AM, Wilhelm Berghorn, zweifelt aufgrund mathematischer Berechnungen die Kapitalmarkttheorie an. Die Märkte seien nicht effizient; und das könne man auch für das Portfolio nutzen.

Tim Habicht · 08/12/2019

  • Effiziente Märkte? Sobald die Zeitskala in der Analyse ausgeweitet wird, desto ineffizienter werden die Aktienmärkte
  • Auf Basis von sogenannten Wavelets (kleine Wellen) definiert Berghorn Trendstrukturen
  • Darauf basierend werden Faktorstrategien gebildet, die von diesen Trends profitieren
  • Die Bilanzzahlen der Firmen sind dabei unwichtig; es geht ausschließlich um die Trendumkehrungen

Sind die Kapitalmärkte effizient oder nicht? Eine Frage, über die sich vortrefflich diskutieren und streiten lässt. Eugene Fama entwickelte vor fast 50 Jahren den Begriff der Markteffizienz. Demnach ist ein Markt effizient, wenn seine Marktpreise alle verfügbaren Informationen reflektieren und sich insbesondere Preise unabhängig von der Vergangenheit entwickeln. Damit gilt Fama als Begründer der Theorie effizienter Märkte. Sein Gegenspieler ist Robert Shiller. Er stellt die Effizienz der Märkte in Frage indem er sagt, dass Aktienmärkte viel stärker schwanken als fundamental gerechtfertigt. Aber wer von beiden hat jetzt Recht und warum haben eigentlich beide 2013 den Nobelpreis bekommen?

„Es ist eine Frage der Zeitskala mit der man die Daten beobachtet.“ Das ist die Meinung von Wilhelm Berghorn, Gründer der bayerischen Fonds-Boutique Mandelbrot Asset Management. Aber Berghorn behauptet das nicht einfach so, sondern das ist das Ergebnis aus mathematischen Untersuchungen, die der promovierte Mathematiker durchgeführt hat. Berghorn relativiert und erklärt: „Man kann beide Sichtweisen einnehmen. Wenn man kurzfristig - zum Beispiel für den nächsten Tag - Märkte betrachtet, so kann man diese als effizient ansehen. Sobald aber die Zeitskala in der Analyse ausgeweitet wird, desto ineffizienter werden die Aktienmärkte.“ Welchen Standpunkt man einnimmt hängt sehr davon ab, ob man eben kurz- oder langfristig im Markt engagiert ist.

Auf Basis von sogenannten „Wavelets“ (kleine Wellen) lassen sich Trendstrukturen definieren. Welche Details erkannt werden hängt unmittelbar mit der sogenannten Wavelet-Skala zusammen. Große Skalen entsprechen groben Strukturen bzw. langen Trends. Je kleiner die Skala gewählt wird, desto kleiner sind die entsprechenden Details, die sichtbar werden. Damit ergibt sich aus Trendsicht, dass die Trends jeweils von der Skala der Betrachtung abhängen. Ob der letzte Trend auf- oder abwärtsgerichtet ist ist damit eine Frage des Standpunktes (oder der Skala). Es sind genau diese fraktalen Chrarakteristiken, die Mandelbrot ursprünglich in den Preiszeitreihen gesehen hat.

Festmachen kann man dies an einem signaltheoretisch optimalen Trendmodell, in welchem man die Trendlängen eines gesamten Marktes mit den Trendlängen aus den bekannten Modellen der Finanzmathematik (Random Walk oder gebrochen Brownsche Bewegung von Benoît Mandelbrot) abgleicht. Entscheidend ist hier die Skala der Analyse, die verschiedene Zeiträume repräsentiert. Je größer die Skala, desto länger werden die Trends, die man messen kann. Und genau hier zeige sich, dass bei großen Skalen die Trends in Marktdaten wesentlich länger seien. Mehr noch: Sie seien auch im Mandelbrotschen Sinne wilder, das heißt Trends in Marktdaten variieren viel stärker als die Grundlagen-Modelle es zulassen würden.

Verglichen werden die mittleren Trendlängen von Random Walks (geometrisch Brownsche Bewegung) und den realen Daten. Die klassische Finanzmathematik geht (zum Beispiel bei der Bewertung von Optionspreisen) davon aus, dass die Renditen unabhängig von der Vergangenheit sind und insgesamt einer Normalverteilung unterliegen. Aggregiert man pro Skala alle Aktien eines Marktes (hier S&P 500 sowie STOXX 600) und berechnet die mittlere Trendlängen pro Skala, dann stellt man fest, dass die Trends in realen Daten länger als die der Random Walks sind. Gleiches gilt auch für die Verallgemeinerung von Mandelbrot, die sogenannten gebrochenen Brownschen Bewegungen. Je größer die Skala, desto größer wird der Abstand. Betrachtet man hingegen ganz kleine Skalen, dann sind die Trendlängen annähernd gleich.

Das Ganze konvergiert, wenn man den Zeitraum sehr kurzfristig betrachtet (linker Endpunkt in der Grafik oben). Wer nun denkt, dies wäre an sich schon interessant, wird laut Berghorn eines besseren belehrt. In weiteren Experimenten führen Berghorn und Seine Co-Autoren Sascha Otto und Martin Schulz auf Basis dieses Trendmodells Faktorstrategien ein. Monatlich werten sie hierzu anhand einer vorgegeben Skala den letzen Trend des Modells aus und berechnen die Steigung dieses letzten sichtbaren Trends. Danach werden die Aktien eines Marktes anhand dieser Trendsteigung sortiert und die obersten zehn Prozent des Marktes in ein theoretisches Portfolio genommen. Dieses wird monatlich wiederholt. Analog zu stark steigenden Aktien betrachtet Berghorn aber auch noch stark fallende Aktien, in dem er negative Skalen mit fallenden Trends einführt.

Für die Analyse wird anhand einer Skala pro Aktie der letzte sichtbare Trend berechnet. Für diesen Trend wird die Steigung (über die Tagesrendite) ermittelt. Alle Aktien eines Portfolios werden dann nach der stärksten Steigung sortiert.

In einem weiteren Schritt beantwortet er dann experimentell eine entscheidende Frage: Können Risiko-Faktoren, wie zum Beispiel Value-Strategien und klassische Kapitalmarkt-Anomalien, wie beispielsweise Momentum oder Low Volatility durch diese - auf Trends basierende - Faktorsysteme repliziert werden? Unter zu Hilfenahme eines Optimierungsalgorithmus aus der künstlichen Intelligenz werden die zugrunde gelegten Skalen variiert und dann wird eine Antwort sichtbar: Ja und zwar statistisch auf hohem Konfidenzniveau.

Für den Markt S&P 500 sowie STOXX 600 (~1.100 Aktien) wird monatlich das Verhältnis aus aktuellem Preis und der EBITDA Kennzahl (earnings before interest, taxes, depreciation and amortization, also Gewinn vor Zinsen, Steuern, Abschreibungen auf Sachanlagen und Abschreibungen auf immaterielle Vermögensgegenstände) berechnet. Die Aktien werden dann anhand dieser Kennzahl monatlich sortiert und 110 Aktien in ein „Value“-Portfolio übernommen. Über Variation der Skalen wird eine trendbasierte Strategie (durch Auswertung des letzten Trends) gesucht, die diesem „Value“-Ansatz nahe kommt. Ein Drei-Skalen-System (auf Basis der Steigung der letzten Trends) mit Skalen 58 / -128 /-39 „repliziert“ den „Value“-Ansatz statistisch signifikant.

Bei den sogenannten Replikationen auf Basis des Trend-Modells sind dann die gefundenen Skalen interessant. Während Momentum und Low Volatility in positive Aufwärtstrends investieren, haben verschiedenste Value-Ansätze immer negative Skalen, das heißt: „Value-Ansätze können durchaus als Risiko-Strategien gesehen werden, investieren diese doch in Abwärtstrends“, führt Berghorn aus. Mehr noch: Über diese Sichtweise erschließe sich sofort, warum Value-Strategien zu Momentum anti-korreliert sind (Abwärts- gegen Aufwärtstrends) und warum Low Volatility unkorreliert zu beiden ist.

Schmunzelnd führt Berghorn aus: „Erklären Sie einmal einem Value-Investor, dass er sich die Bilanzzahlen nicht ansehen muss, sondern Trendumkehrungen anhand unseres Modells ausnutzen kann.“ Warum kann das eigentlich sein? „Eine Überoptimierung scheidet aus, da auf Portfolio-Ebene die Faktorstrategien annähernd gleich investieren. Es ist vielmehr das zentrale Argument von Robert Shiller, der sagt, dass Aktienmärkte viel stärker schwanken als die fundamentalen Kennzahlen dies rechtfertigen würden“, so Berghorn. Auch hier gibt der Mathematiker ein Beispiel. In seinen Untersuchungen schwanken die Kurse im Mittel um den Faktor 36 stärker als zum Beispiel die Bilanzkennzahl EBIDTA. Würde ein Investor also das 18-fache des EBITDA für eine Aktie bezahlen, so wäre es immer noch ein Faktor 2, mit welchem die Aktienpreise um einen fundamentalen Wert schwankten.



Damit aber noch nicht genug. In einem finalen Schritt stellen Berghorn und seine Co-Autoren die Effizienzmarkthypothese auf den Kopf. Ausgehend von der Annahme, dass Trends Renditepfade beeinflussen, fragen sie sich, ob eine Marktrendite durch diese Trendmodelle erklärt werden kann. „Das Interessante ist, dass wir nur die Haupt-Faktor-Strategien nehmen müssen und damit dann eine Beschreibungsgüte erhalten, die noch stärker ist als das der klassischen Finanzmathematik zugrundeliegende ‚Capital Asset Pricing Model‘“. In diesem klassischen Modell wird jeder Aktie ein Marktrisiko und ein unternehmensspezifische Risiko (Beta) zugeordnet. Dieses Modell wurde in einem ersten Schritt von Fama um Risikofaktoren, wie zum Beispiel Value oder den Größeneffekt erweitert. Das Trendmodell von Berghorn und seinen Co-Autoren kann als Gegensicht betrachtet werden.

„Man darf die Genialität von Mandelbrot an dieser Stelle nicht unterschätzen“, sagt Berghorn und fügt hinzu: „Zum einen hat er Multiskalen-Techniken eingeführt, die ihm Marktverhalten besser erklärten. Schon allein dieser Schritt hat philosophisch Parallelen zu der Betrachtungsweise von Albert Einstein, der Zeit und Raum in seinen Arbeiten integriert betrachtet hat. Weiter skizziert Mandelbrot am Ende seiner akademischen Laufbahn auch noch durch Trends induzierte fraktale Märkte, um seine Sichtweise klarzustellen. Mit modernen Methoden der Signaltheorie sehen wir jetzt genau das.“ Berghorn und Co-Autoren argumentieren, dass aus Sicht von fraktalen Märkten, also sich überlagernden Trends, Annahmen der klassischen Finanzmathematik nicht erfüllt sind. „Grenzt man die Sichtweise auf eine Skala ein, beispielsweise auf die Analyse von Tagesrenditen, wie es in der klassischen Finanzmathematik oft unterstellt wird, dann sieht man zwingend normalverteilte Renditen und denkt Märkte wären effizient.“ Der Grund ist laut Berghorn einfach: „Sobald Trends gemischt werden, greift der zentrale Grenzwertsatz der Statistik und dann werden die Renditen normalverteilt.“

Aber hat diese Sichtweise auch praktischen Nutzen? „Ja“, so Berghorn, „wir verstehen Marktverhalten als ‚Renditeabdruck“ von bestimmten Investment-Stilen, die in bestimmten Marktregimen Outperformance erzeugen. Wir wollten wissen, wann und warum Momentum auch starke Unterperformance zum Markt erzeugt. Der Schlüssel sind die anderen Investment-Faktoren und es hat unsere Sichtweise auch im Asset Management geändert…“


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